Regla de Cramer (Encontrando Incógnitas)

 -Fundamento Teórico-

La regla de Cramer se basa en la idea de que un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Esta condición es esencial para garantizar que la solución sea única y no existan múltiples soluciones o ninguna solución. 

Explicación detallada:

1. Matriz de coeficientes: Se forma una matriz cuadrada con los coeficientes de las incógnitas del sistema de ecuaciones.
2. Determinante: Se calcula el determinante de esta matriz.
3. Matrices auxiliares: Para cada incógnita, se crea una matriz auxiliar reemplazando la columna correspondiente de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes.
4. Determinantes auxiliares: Se calcula el determinante de cada matriz auxiliar.
5. Solución: Cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz auxiliar correspondiente entre el determinante de la matriz de coeficientes. 

Ejemplo:

Considere el sistema:

Código

2x + y = 5
x - y = 1

1. Matriz de coeficientes:

Código

   | 2  1 |
   | 1 -1 |

1. Determinante: (2 * -1) - (1 * 1) = -3
2. Matrices auxiliares:

Código

   | 5  1 |
   | 1 -1 |  (para x)

Código

   | 2  5 |
   | 1  1 |  (para y)

1. Determinantes auxiliares:

Código

   | 5  1 | = (5 * -1) - (1 * 1) = -6
   | 1 -1 |

Código

   | 2  5 | = (2 * 1) - (5 * 1) = -3
   | 1  1 |

1. Solución:

Código

   x = -6 / -3 = 2
   y = -3 / -3 = 1

Limitaciones:

La regla de Cramer solo es aplicable a sistemas de ecuaciones donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Para sistemas con más incógnitas o donde el determinante es cero, la regla de Cramer no es aplicable. 

-Algoritmo del Método-

1. 1. Formar la matriz de coeficientes:

   Se crea una matriz cuadrada donde cada fila representa una ecuación y cada columna representa los coeficientes de una incógnita. 
2. 2. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes (Δ):

   Este determinante debe ser diferente de cero para que la regla de Cramer sea aplicable. 
3. 3. Para cada incógnita (x, y, z, etc.):

   • Formar una nueva matriz (Δi): Se reemplaza la columna correspondiente a la incógnita en la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes. 
   • Calcular el determinante de la nueva matriz (Δi): Este determinante se divide entre el determinante de la matriz de coeficientes (Δ) para obtener el valor de la incógnita. 

-Ejemplo Resuelto Paso a Paso-

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{aligned} x + 2y + 3z &= 9 \\ 2x + 3y + z &= 8 \\ 3x + y + 2z &= 7 \end{aligned}$$

---

📌 Paso 1: Escribir en forma matricial

Forma general:

$$A \cdot \vec{x} = \vec{b}$$

Matriz de coeficientes $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Vector de términos independientes $\vec{b}$:

$$\vec{b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$$

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📌 Paso 2: Calcular el determinante de la matriz A, $\text{det}(A)$$\text{det}$$($$A$$)$$\text{det}(A)$

$$\text{det}(A) = 1(3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 2(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + 3(2 \cdot 1 - 3 \cdot 3)$$ $$= 1(6 - 1) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9) = 5 - 2(1) + 3(-7) = 5 - 2 - 21 = -18$$

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📌 Paso 3: Calcular determinantes $D_x$, $D_y$, $D_z$$D_{}$$x_{}$Dx​,
$D_{}$$y_{}$Dy​,
$D_{}$$z_{}$Dz​

➤ $D_x$: reemplaza la primera columna de $A$ con $\vec{b}$

$$D_x = \begin{vmatrix} 9 & 2 & 3 \\ 8 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 9(3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 2(8 \cdot 2 - 1 \cdot 7) + 3(8 \cdot 1 - 3 \cdot 7)$$ $$= 9(6 - 1) - 2(16 - 7) + 3(8 - 21) = 9(5) - 2(9) + 3(-13) = 45 - 18 - 39 = -12$$

---

➤ $D_y$: reemplaza la segunda columna de $A$ con $\vec{b}$

$$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 9 & 3 \\ 2 & 8 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 1(8 \cdot 2 - 1 \cdot 7) - 9(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + 3(2 \cdot 7 - 8 \cdot 3)$$ $$= 1(16 - 7) - 9(4 - 3) + 3(14 - 24) = 9 - 9 - 30 = -30$$

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➤ $D_z$: reemplaza la tercera columna de $A$ con $\vec{b}$

$$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 9 \\ 2 & 3 & 8 \\ 3 & 1 & 7 \end{vmatrix} = 1(3 \cdot 7 - 8 \cdot 1) - 2(2 \cdot 7 - 8 \cdot 3) + 9(2 \cdot 1 - 3 \cdot 3)$$ $$= 1(21 - 8) - 2(14 - 24) + 9(2 - 9) = 13 - 2(-10) + 9(-7) = 13 + 20 - 63 = -30$$

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📌 Paso 4: Aplicar la regla de Cramer

$$x = \frac{D_x}{\text{det}(A)} = \frac{-12}{-18} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ $$y = \frac{D_y}{\text{det}(A)} = \frac{-30}{-18} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$ $$z = \frac{D_z}{\text{det}(A)} = \frac{-30}{-18} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$

---

✅ Resultado final:

$$\boxed{ x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{5}{3}, \quad z = \frac{5}{3} }$$

-Código del Método-

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Definir matriz de coeficientes A y vector de constantes b

A = np.array([

    [1, 2, 3],

    [2, 3, 1],

    [3, 1, 2]

], dtype=float)

b = np.array([9, 8, 7], dtype=float)

# Determinante de A

det_A = np.linalg.det(A)

# Determinantes Dx, Dy, Dz sustituyendo columnas

A_x = A.copy()

A_x[:, 0] = b

det_x = np.linalg.det(A_x)

A_y = A.copy()

A_y[:, 1] = b

det_y = np.linalg.det(A_y)

A_z = A.copy()

A_z[:, 2] = b

det_z = np.linalg.det(A_z)

# Soluciones usando la regla de Cramer

x = det_x / det_A

y = det_y / det_A

z = det_z / det_A

# Mostrar resultados

print("Solución usando Regla de Cramer:")

print(f"x = {x:.4f}")

print(f"y = {y:.4f}")

print(f"z = {z:.4f}")

# Graficar las superficies

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))

ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Malla para graficar

x_vals = np.linspace(-2, 4, 100)

y_vals = np.linspace(-2, 4, 100)

X, Y = np.meshgrid(x_vals, y_vals)

# Superficies Z de cada ecuación

Z1 = (9 - X - 2*Y) / 3

Z2 = (8 - 2*X - 3*Y)

Z3 = (7 - 3*X - Y) / 2

# Dibujar superficies

ax.plot_surface(X, Y, Z1, alpha=0.5, color='blue', label='Ecuación 1')

ax.plot_surface(X, Y, Z2, alpha=0.5, color='green', label='Ecuación 2')

ax.plot_surface(X, Y, Z3, alpha=0.5, color='red', label='Ecuación 3')

# Dibujar la solución

ax.scatter(x, y, z, color='black', s=100, label='Solución (Cramer)')

# Etiquetas

ax.set_xlabel('x')

ax.set_ylabel('y')

ax.set_zlabel('z')

ax.set_title('Solución del sistema por Regla de Cramer')

ax.legend()

# Mostrar gráfico

plt.show()

-Grafica-

-Video Explicativo-

-Conclusión-

La regla de Cramer es un método útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales, especialmente aquellos con un número igual de ecuaciones e incógnitas, siempre que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente de cero