Interpolación de Lagrange

-Fundamento Teórico-

Fundamento teórico:

1. Problema de interpolación: El objetivo principal es encontrar un polinomio que pase por un conjunto de n+1 puntos (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ), donde xᵢ son los valores de la variable independiente y yᵢ son los valores correspondientes a la función.
2. Polinomio interpolador: El polinomio de Lagrange, Pₙ(x), se construye como una combinación lineal de funciones base, Lᵢ(x), donde i va desde 0 hasta n. Estas funciones base están definidas de tal manera que cada Lᵢ(x) toma el valor 1 en xᵢ y 0 en todos los demás puntos xⱼ con j ≠ i.
3. Función base: La función base Lᵢ(x) se calcula utilizando la fórmula: 

Lᵢ(x) = ∏ⱼ₹ᵢ (x - xⱼ) / (xᵢ - xⱼ) , donde el producto se realiza sobre todos los j distintos de i. 

1. Polinomio interpolador de Lagrange: El polinomio interpolador Pₙ(x) se expresa como:

Pₙ(x) = ∑ᵢ=₀ⁿ yᵢLᵢ(x). 

1. Unicidad: El polinomio de Lagrange de grado n-1 que pasa por n puntos dados es único.

-Algoritmo del Método-

Fundamento teórico:

1. Problema de interpolación: El objetivo principal es encontrar un polinomio que pase por un conjunto de n+1 puntos (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ), donde xᵢ son los valores de la variable independiente y yᵢ son los valores correspondientes a la función.
2. Polinomio interpolador: El polinomio de Lagrange, Pₙ(x), se construye como una combinación lineal de funciones base, Lᵢ(x), donde i va desde 0 hasta n. Estas funciones base están definidas de tal manera que cada Lᵢ(x) toma el valor 1 en xᵢ y 0 en todos los demás puntos xⱼ con j ≠ i.
3. Función base: La función base Lᵢ(x) se calcula utilizando la fórmula: 

Lᵢ(x) = ∏ⱼ₹ᵢ (x - xⱼ) / (xᵢ - xⱼ) , donde el producto se realiza sobre todos los j distintos de i. 

1. Polinomio interpolador de Lagrange: El polinomio interpolador Pₙ(x) se expresa como:

Pₙ(x) = ∑ᵢ=₀ⁿ yᵢLᵢ(x). 

1. Unicidad: El polinomio de Lagrange de grado n-1 que pasa por n puntos dados es único.

-Ejemplo Resulto Paso a Paso-

Dado el siguiente conjunto de puntos:

$$(1, 2),\quad (2, 3),\quad (4, 1)$$

Encuentra el polinomio interpolante de Lagrange que pasa por esos puntos y evalúalo en $x = 3$.

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🧠 Paso 1: Fórmula de interpolación de Lagrange

El polinomio interpolante de Lagrange de grado $n-1$ para los puntos $(x_0, y_0), \dots, (x_n, y_n)$ es:

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)$$

donde

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

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🧩 Paso 2: Sustituir los puntos

Puntos dados:

• $x_0 = 1, y_0 = 2$

• $x_1 = 2, y_1 = 3$

• $x_2 = 4, y_2 = 1$

Construimos cada $L_i(x)$:

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📌 $L_0(x)$:

$$L_0(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{(1 - 2)(1 - 4)} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{(-1)(-3)} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{3}$$

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📌 $L_1(x)$:

$$L_1(x) = \frac{(x - 1)(x - 4)}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{(x - 1)(x - 4)}{(1)(-2)} = \frac{-(x - 1)(x - 4)}{2}$$

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📌 $L_2(x)$:

$$L_2(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(4 - 1)(4 - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(3)(2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{6}$$

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🧮 Paso 3: Formar el polinomio

$$P(x) = 2 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 1 \cdot L_2(x)$$ $$P(x) = 2 \cdot \frac{(x - 2)(x - 4)}{3} - 3 \cdot \frac{(x - 1)(x - 4)}{2} + \frac{(x - 1)(x - 2)}{6}$$

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🔍 Paso 4: Evaluar en $x = 3$

$$L_0(3) = \frac{(3 - 2)(3 - 4)}{3} = \frac{(1)(-1)}{3} = -\frac{1}{3}$$ $$L_1(3) = \frac{-(3 - 1)(3 - 4)}{2} = \frac{-(2)(-1)}{2} = 1$$ $$L_2(3) = \frac{(3 - 1)(3 - 2)}{6} = \frac{(2)(1)}{6} = \frac{1}{3}$$ $$P(3) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 3 \cdot (1) + 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3} + 3 + \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$$

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✅ Resultado final:

• El valor interpolado en $x = 3$ es:

$$P(3) = \frac{8}{3} \approx 2.667$$

$$-Código\; del\; Método-$$

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Datos del ejemplo

x_data = np.array([1, 2, 4], dtype=float)

y_data = np.array([2, 3, 1], dtype=float)

# Función de Lagrange

def lagrange_interp(x_vals, y_vals, x_interp):

    total = 0

    n = len(x_vals)

    for i in range(n):

        term = y_vals[i]

        for j in range(n):

            if j != i:

                term *= (x_interp - x_vals[j]) / (x_vals[i] - x_vals[j])

        total += term

    return total

# Crear valores para graficar el polinomio

x_plot = np.linspace(min(x_data), max(x_data), 300)

y_plot = [lagrange_interp(x_data, y_data, xi) for xi in x_plot]

# Valor interpolado en x = 3

x_interp = 3

y_interp = lagrange_interp(x_data, y_data, x_interp)

# Graficar

plt.figure(figsize=(8,5))

plt.plot(x_plot, y_plot, label='Polinomio de Lagrange', color='blue')

plt.scatter(x_data, y_data, color='red', label='Datos conocidos', zorder=5)

plt.axvline(x_interp, color='gray', linestyle='--')

plt.scatter([x_interp], [y_interp], color='green', label=f'Interpolación: P(3) ≈ {y_interp:.3f}', zorder=5)

plt.title("Interpolación de Lagrange")

plt.xlabel("x")

plt.ylabel("P(x)")

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

-Grafica-

-Video Explicativo-

-Conclusión-

La interpolación de Lagrange es un método para encontrar un polinomio que pase por un conjunto de puntos dados. Es una herramienta útil para aproximar funciones y evaluar sus valores en puntos entre los dados, especialmente cuando los puntos no están equiespaciados.