Método de la Serie de Taylor

-Fundamento Teórico-

La serie de Taylor es una herramienta fundamental en matemáticas y física para aproximar funciones complejas con polinomios, facilitando el cálculo y análisis. 

• Derivadas:

  La serie de Taylor está intrínsecamente ligada a las derivadas de la función. Cada término de la serie está relacionado con una derivada de la función, lo que permite construir una aproximación polinómica de la función. 
• Aproximación polinómica:

  Al truncar la serie de Taylor a un número finito de términos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función original. Este polinomio se conoce como polinomio de Taylor. 
• Radio de convergencia:

  La serie de Taylor puede converger (aproximar la función) dentro de un intervalo llamado radio de convergencia, que depende de la función y el punto "a" alrededor del cual se desarrolla la serie. 

-Pasos del Algoritmo-

Pasos del algoritmo de Series de Fourier:

1. Verificar periodicidad y condiciones de Dirichlet
   Asegúrate de que la función $f(x)$ sea periódica y cumpla las condiciones de Dirichlet:

   • Es integrable en el intervalo.

   • Tiene un número finito de discontinuidades finitas.

   • Tiene un número finito de máximos y mínimos en el intervalo.

2. Determinar el período $T=2L$
   Define el intervalo sobre el que está definida la función, usualmente $[-L,L]$. Esto da el período de la función.

3. Calcular los coeficientes de Fourier:

   Para $n=0,1,2,\dots$:

   • Coeficiente constante (término promedio):

     $$a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)dx$$

   • Coeficientes de coseno (pares):

     $$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$$

   • Coeficientes de seno (impares):

     $$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$$

4. Construir la serie de Fourier:

   $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)]$$

5. (Opcional) Elegir forma alterna (compleja):
   También se puede usar la forma compleja usando exponenciales $e^{inx}$, si se prefiere para ciertas aplicaciones.

6. Verificar convergencia:
   La serie converge a $f(x)$ en los puntos donde es continua y al promedio de los límites laterales donde es discontinua.

 -Ejemplo Resuelto Paso a Paso-

La serie de Taylor de una función $f(x)$ centrada en $x=a$ es:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

En nuestro caso, $a=0$, así que:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

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📌 Paso 2: Calcular derivadas de $f(x)=\ln (1+x)$

$$f(x)=\ln (1+x)$$

• Primera derivada:

  $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1+x}$$

• Segunda derivada:

  $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}$$

• Tercera derivada:

  $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{(1+x{)}^3}$$

• Cuarta derivada:

  $$f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x{)}^4}$$

Y así sucesivamente...

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📌 Paso 3: Evaluar las derivadas en $x=0$

$$f(0)=\ln (1)=0$$$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-1,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=2,f^{(4)}(0)=-6$$

Observamos que los signos alternan y los numeradores parecen ser factoriales:

• $f^{(n)}(0)=(-1{)}^{n+1}(n-1)!$, para $n\ge 1$

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📌 Paso 4: Sustituir en la fórmula de la serie

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}(n-1)!}{n!}{x}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}$$

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✅ Resultado final:

$$\boxed{{\displaystyle \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots }}$$

Esta serie converge para $-1<x\le 1$.

-Código del Método-

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Función original

def ln_1_plus_x(x):

    return np.log(1 + x)

# Serie de Taylor truncada

def taylor_ln_1_plus_x(x, n_terms=5):

    taylor_sum = np.zeros_like(x)

    for n in range(1, n_terms + 1):

        term = ((-1) ** (n + 1)) * (x ** n) / n

        taylor_sum += term

    return taylor_sum

# Dominio de valores

x = np.linspace(-0.99, 1.0, 400)

y_actual = ln_1_plus_x(x)

# Aproximaciones

taylor_3 = taylor_ln_1_plus_x(x, 3)

taylor_5 = taylor_ln_1_plus_x(x, 5)

taylor_10 = taylor_ln_1_plus_x(x, 10)

# Graficar

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(x, y_actual, label="f(x) = ln(1 + x)", color="black", linewidth=2)

plt.plot(x, taylor_3, label="Taylor (3 términos)", linestyle='--')

plt.plot(x, taylor_5, label="Taylor (5 términos)", linestyle='--')

plt.plot(x, taylor_10, label="Taylor (10 términos)", linestyle='--')

plt.axvline(x=-1, color='red', linestyle=':', label="x = -1 (frontera)")

plt.title("Aproximación de ln(1 + x) con Series de Taylor")

plt.xlabel("x")

plt.ylabel("f(x)")

plt.grid(True)

plt.legend()

plt.ylim(-2, 2)

plt.show()

-Grafica-

 -Video Explicativo-

-Conclusión-

La serie de Fourier es una herramienta matemática fundamental para descomponer funciones periódicas en una suma de senos y cosenos. Su mayor fortaleza radica en su capacidad para representar señales complejas mediante combinaciones simples de ondas armónicas. Esto la convierte en un puente esencial entre las matemáticas puras y las aplicaciones prácticas.

En la vida real, la serie de Fourier tiene aplicaciones críticas en múltiples áreas:

• En ingeniería eléctrica, se utiliza para analizar señales en circuitos, modulación de ondas y compresión de datos.

• En procesamiento de audio e imagen, permite filtrar ruidos, comprimir archivos (como en JPEG y MP3) y reconstruir señales.

• En física, describe fenómenos periódicos como el movimiento ondulatorio, el calor, y la vibración de estructuras.

• En medicina, se emplea en tecnologías como la resonancia magnética y el análisis de señales del corazón (ECG).

• En informática, forma parte esencial de algoritmos de reconocimiento de patrones, visión por computadora y análisis de datos.

Gracias a su versatilidad, la serie de Fourier no solo ayuda a entender mejor el comportamiento de las señales periódicas, sino que también permite construir soluciones prácticas para problemas reales en ciencia, tecnología y sociedad.