Metodo de la Regla Falsa

 -Fundamento Teórico-

1. 1. Principio de la Interpolación Lineal:

   El método se basa en el principio de la interpolación lineal. Se asume que la función f(x) puede ser aproximada por una línea recta dentro de un intervalo [a, b] donde f(a) * f(b) < 0, lo que indica que existe una raíz en ese intervalo. 
2. 2. Calculo de la Intersección:

   Se calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La intersección de esta recta con el eje x (donde f(x) = 0) se obtiene resolviendo la ecuación de la recta, y este valor x se considera la nueva aproximación a la raíz. 
3. 3. Iteración:

   Se evalúa f(x) en la nueva aproximación. Si f(x) * f(a) < 0, la nueva raíz se encuentra entre a y x, y b se reemplaza por x. De lo contrario, la nueva raíz se encuentra entre x y b, y a se reemplaza por x. 
4. 4. Convergencia:

   Se repite el proceso hasta que se alcanza una convergencia deseada, es decir, hasta que la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas sea menor que un error establecido o hasta que se alcance el número máximo de iteraciones

-Algoritmo del Método-

1. 1. Definir un intervalo:

   Se elige un intervalo [a, b] donde la función f(x) tiene signos opuestos en los extremos, es decir, f(a) * f(b) < 0.
2. 2. Calcular el punto de intersección:

   Se calcula el punto c donde la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) interseca el eje x, utilizando la fórmula: c = (a * f(b) - b * f(a)) / (f(b) - f(a)).
3. 3. Evaluar la función en el punto c:

   Se calcula f(c).
4. 4. Actualizar el intervalo:

   • Si f(a) * f(c) < 0, la raíz está entre a y c. Se actualiza b = c.
   • Si f(b) * f(c) < 0, la raíz está entre b y c. Se actualiza a = c.
5. 5. Repetir:

   Se repite el paso 2 hasta que la diferencia entre los puntos de los extremos del intervalo sea menor que la tolerancia deseada o se cumpla otro criterio de convergencia

-Ejemplo Resuelto Paso a Paso-

Resolver $f(x) = x^3 - x - 2$
Buscar una raíz en el intervalo $[1, 2]$
Con una tolerancia de $\epsilon = 0.01$

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🔢 Paso 1: Verificar condición

$$f(1) = 1^3 - 1 - 2 = -2 \\ f(2) = 8 - 2 - 2 = 4$$

✅ Hay un cambio de signo ⇒ aplicar la regla falsa.

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📐 Fórmula de la regla falsa:

$$x = b - \frac{f(b)(b - a)}{f(b) - f(a)}$$

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🔁 Iteraciones:

Iteración 1:

• $a = 1, f(a) = -2$

• $b = 2, f(b) = 4$

$$x = 2 - \frac{4(2 - 1)}{4 - (-2)} = 2 - \frac{4}{6} = 1.333$$ $$f(1.333) ≈ (1.333)^3 - 1.333 - 2 ≈ -0.962$$

$f(a) \cdot f(x) < 0 \Rightarrow$ la raíz está en $[1.333, 2]$

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Iteración 2:

• $a = 1.333, f(a) = -0.962$

• $b = 2, f(b) = 4$

$$x = 2 - \frac{4(2 - 1.333)}{4 - (-0.962)} ≈ 2 - \frac{2.668}{4.962} ≈ 1.462$$ $$f(1.462) ≈ (1.462)^3 - 1.462 - 2 ≈ -0.334$$

Raíz en $[1.462, 2]$

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Iteración 3:

• $a = 1.462, f(a) = -0.334$

• $b = 2, f(b) = 4$

$$x ≈ 2 - \frac{4(2 - 1.462)}{4 - (-0.334)} ≈ 1.505$$ $$f(1.505) ≈ -0.079$$

Raíz en $[1.505, 2]$

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Iteración 4:

$$x ≈ 1.516, \quad f(1.516) ≈ -0.016$$

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Iteración 5:

$$x ≈ 1.519, \quad f(1.519) ≈ -0.003$$

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✅ Resultado:

Raíz aproximada:

$$\boxed{x \approx 1.519} \quad \text{con error menor que 0.01}$$

$$\text{-Código del Método-}$$

$$\text{def f(x): return x**3 - x - 2\# Intervalo iniciala = 1b = 2tolerance = 0.01max\_iter = 100iteration = 0print("Método de la Regla Falsa para f(x) = x³ - x - 2")print(f"{'Iter':<6}{'a':<10}{'b':<10}{'x':<12}{'f(x)':<12}")while iteration < max\_iter: fa = f(a) fb = f(b) \# Regla falsa x = b - fb * (b - a) / (fb - fa) fx = f(x) print(f"{iteration:<6}{a:<10.6f}{b:<10.6f}{x:<12.6f}{fx:<12.6f}") if abs(fx) < tolerance: break if fa * fx < 0: b = x else: a = x iteration += 1print(f"nRaíz aproximada: x ≈ {x:.6f} con f(x) ≈ {fx:.6f}")-Grafica--Video Explicativo--Conclusión-El método de la regla falsa, es un método numérico para encontrar las raíces de ecuaciones no lineales. Se basa en la idea de usar la intersección de una recta con el eje x, que une dos puntos con signos opuestos en la función, para aproximar la raíz.}$$