Método de Gauss-Seidel

 -Fundamento Teórico-

El método de Gauss-Seidel se basa en el principio de la convergencia iterativa para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. El proceso se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Sistema de Ecuaciones: Se parte de un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX = B, donde A es la matriz de coeficientes, X es el vector de incógnitas y B es el vector de términos constantes. 
2. Desarrollo de las Ecuaciones: Se despeja cada incógnita (xᵢ) de su respectiva ecuación. 
3. Iteración Inicial: Se asignan valores iniciales (estimados) a las incógnitas. 
4. Iteración Sucesiva: En cada iteración, se calcula el nuevo valor de cada incógnita (xᵢ) utilizando los valores recién calculados de las incógnitas anteriores en la misma iteración, y los valores iniciales de las incógnitas que aún no han sido calculadas en esa iteración. 
5. Evaluación de la Convergencia: Se continúa iterando hasta que la diferencia entre los valores de las incógnitas en dos iteraciones consecutivas sea menor que un umbral predefinido (tolerancia). 

-Algoritmo del Método-

1. 1. Inicialización:

   Asignar valores iniciales a las incógnitas del sistema. 
2. 2. Iteración:

   • Para cada ecuación:
     • Despejar la incógnita principal de la ecuación. 
     • Reemplazar las otras incógnitas en la ecuación con sus valores más recientes (calculados en la iteración actual o en una iteración anterior). 
     • Resolver la ecuación para obtener el nuevo valor de la incógnita principal. 
   • Repetir este paso para todas las ecuaciones del sistema. 
3. 3. Verificación de convergencia:

   Calcular la diferencia entre los valores de las incógnitas de la iteración actual y la iteración anterior. 
4. 4. Continuación:

   Si la diferencia es menor que un umbral predefinido, el método ha convergido y la solución se ha encontrado. De lo contrario, volver al paso 2 y repetir la iteración. 

Consideraciones:

• El método de Gauss-Seidel converge si la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante.
• El método de Gauss-Seidel generalmente converge más rápidamente que el método de Jacobi.
• El número de iteraciones necesarias para la convergencia puede variar según el sistema de ecuaciones y los valores iniciales. 

-Ejercicio Resuelto Paso a Paso-

resolver:

$$\begin{cases} 4x + y + z = 7 \\ x + 3y + z = -8 \\ x + y + 5z = 6 \end{cases}$$

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✅ Paso 1: Despejar cada variable

Se despeja cada variable usando su ecuación correspondiente:

$$\begin{aligned} x &= \frac{1}{4}(7 - y - z) \\ y &= \frac{1}{3}(-8 - x - z) \\ z &= \frac{1}{5}(6 - x - y) \end{aligned}$$

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✅ Paso 2: Estimación inicial

Tomamos como punto de partida:

$$x^{(0)} = 0,\quad y^{(0)} = 0,\quad z^{(0)} = 0$$

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🔁 Iteración 1

Usamos los valores iniciales y vamos actualizando inmediatamente:

1. $x^{(1)} = \frac{1}{4}(7 - 0 - 0) = 1.75$

2. $y^{(1)} = \frac{1}{3}(-8 - 1.75 - 0) = \frac{-9.75}{3} = -3.25$

3. $z^{(1)} = \frac{1}{5}(6 - 1.75 - (-3.25)) = \frac{1}{5}(6 - 1.75 + 3.25) = \frac{7.5}{5} = 1.5$

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🔁 Iteración 2

Usamos los valores de la iteración 1:

1. $x^{(2)} = \frac{1}{4}(7 - (-3.25) - 1.5) = \frac{1}{4}(7 + 3.25 - 1.5) = \frac{8.75}{4} = 2.1875$

2. $y^{(2)} = \frac{1}{3}(-8 - 2.1875 - 1.5) = \frac{-11.6875}{3} = -3.8958$

3. $z^{(2)} = \frac{1}{5}(6 - 2.1875 - (-3.8958)) = \frac{1}{5}(6 - 2.1875 + 3.8958) = \frac{7.7083}{5} = 1.5417$

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🔁 Iteración 3

1. $x^{(3)} = \frac{1}{4}(7 - (-3.8958) - 1.5417) = \frac{1}{4}(7 + 3.8958 - 1.5417) = 2.3385$

2. $y^{(3)} = \frac{1}{3}(-8 - 2.3385 - 1.5417) = \frac{-11.8802}{3} = -3.9601$

3. $z^{(3)} = \frac{1}{5}(6 - 2.3385 - (-3.9601)) = \frac{1}{5}(6 - 2.3385 + 3.9601) = \frac{7.6216}{5} = 1.5243$

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✅ Criterio de paro

Cuando el cambio entre iteraciones sea muy pequeño (por ejemplo < 0.01), podemos detenernos. En este caso vemos que se va estabilizando:

• $x \approx 2.34$

• $y \approx -3.96$

• $z \approx 1.52$

-Código del Método-

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Sistema de ecuaciones:

# 4x + y + z = 7

# x + 3y + z = -8

# x + y + 5z = 6

# Coeficientes y términos independientes

A = np.array([[4.0, 1.0, 1.0],

              [1.0, 3.0, 1.0],

              [1.0, 1.0, 5.0]])

b = np.array([7.0, -8.0, 6.0])

# Condiciones iniciales

x = np.zeros(3)

max_iter = 25

tolerance = 1e-6

# Para graficar el historial de cada variable

history = [x.copy()]

# Método de Gauss-Seidel

for iteration in range(max_iter):

    x_new = x.copy()

    for i in range(len(A)):

        s1 = sum(A[i][j] * x_new[j] for j in range(i))

        s2 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i + 1, len(A)))

        x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i][i]

    history.append(x_new.copy())

    if np.allclose(x, x_new, atol=tolerance):

        print(f"Convergió en {iteration + 1} iteraciones.")

        break

    x = x_new

# Convertir historial a numpy array para graficar

history = np.array(history)

# Mostrar resultado

print("Aproximación final:")

print(f"x = {x[0]:.6f}, y = {x[1]:.6f}, z = {x[2]:.6f}")

# Graficar la convergencia de cada variable

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(history[:, 0], label='x')

plt.plot(history[:, 1], label='y')

plt.plot(history[:, 2], label='z')

plt.xlabel('Iteración')

plt.ylabel('Valor de la variable')

plt.title('Convergencia del método de Gauss-Seidel')

plt.grid(True)

plt.legend()

plt.show()

-Grafica-

-Video Explicativo-

-Conclusión-

El método de Gauss-Seidel es una técnica iterativa para resolver sistemas de ecuaciones lineales, queconverge más rápido que el método de Jacobi, pero solo si la matriz de

coeficientes es diagonalmente dominante o si es simétrica y definida positiva.

Su eficiencia radica en utilizar los valores de las incógnitas recién calculados en la

misma iteración, acelerando la convergencia.