Interpolación de Newton por Diferencias

 -Fundamento Teórico-

1. 1. Definir una tabla de diferencias:

   Se calcula la diferencia entre los valores de la función en puntos consecutivos, y luego se repite este proceso para las diferencias obtenidas, creando una tabla de diferencias de orden superior. 
2. 2. Construir el polinomio interpolador:

   Se construye un polinomio de grado n (donde n es el número de puntos dados) utilizando las diferencias de la tabla. La fórmula general del polinomio de Newton es: 

Código

    P(x) = y0 + (x - x0) * f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1) * f[x0, x1, x2] + ...

donde y0 es el valor de la función en el primer punto, f[x0, x1] es la primera diferencia dividida, f[x0, x1, x2] es la segunda diferencia dividida, y así sucesivamente. 

1. Calcular el valor de la función: Se sustituye el valor de x en el polinomio interpolador para obtener el valor aproximado de la función.

Beneficios de este método:

• Simplicidad:

  La construcción del polinomio de Newton es relativamente sencilla, especialmente si se utilizan diferencias divididas. 
• Flexibilidad:

  El método puede ser utilizado con puntos igualmente espaciados o no, lo que lo hace versátil para diversas aplicaciones. 
• Añadir puntos:

  Si se añaden nuevos puntos, el polinomio se puede actualizar fácilmente sin necesidad de recalcular todo el polinomio desde cero. 

Limitaciones:

• Error de interpolación:

  El error de interpolación puede aumentar si el número de puntos dados es grande o si la función a interpolar tiene una variación muy abrupta.
• Dependencia de los puntos:

  La calidad de la interpolación depende de la elección de los puntos dados. 

-Algoritmo del Método-

1. 1. Preparación de los datos:

   • Se tienen n+1 puntos (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn). 
   • Se organiza la tabla de diferencias divididas, donde la primera columna contiene los valores de x y la segunda columna los valores de y. 
2. 2. Construcción de la tabla de diferencias divididas:

   • Se calcula la primera columna de diferencias divididas (f[x0, x1], f[x1, x2], ..., f[xn-1, xn]). La fórmula es: f[xi, xi+1] = (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi). 
   • Se calcula la segunda columna de diferencias divididas (f[x0, x1, x2], f[x1, x2, x3], ..., f[xn-2, xn-1, xn]). La fórmula es: f[xi, xi+1, xi+2] = (f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]) / (xi+2 - xi). 
   • Se continúa calculando las columnas siguientes, siguiendo el mismo patrón. 
   • El valor de la última columna es f[x0, x1, ..., xn]. 
3. 3. Construcción del polinomio interpolador:

   • El polinomio interpolador de Newton por diferencias divididas tiene la forma:

Pn(x) = y0 + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1, x2] + ... + (x - x0)(x - x1)...(x - xn-1)f[x0, x1, ..., xn]. 

• Se utiliza la tabla de diferencias divididas para obtener los coeficientes del polinomio.

-Ejemplo Resuelto Paso a Paso-

Interpolar el valor de $f(2.5)$ usando el siguiente conjunto de datos:

x	f(x)
1	2
2	4
3	8
4	16

Queremos interpolar $f(2.5)$ usando el polinomio de Newton por diferencias progresivas.

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✅ Paso 1: Verificar que los x estén igualmente espaciados

$$h = x_{i+1} - x_i = 1 \quad \text{(constante)}$$

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✅ Paso 2: Construir la tabla de diferencias finitas

x	f(x)	Δf	Δ²f	Δ³f
1	2
2	4	2
3	8	4	2
4	16	8	4	2

Las diferencias se calculan así:

• $Δf_i = f_{i+1} - f_i$

• $Δ^2f_i = Δf_{i+1} - Δf_i$

• Y así sucesivamente...

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✅ Paso 3: Fórmula del polinomio de Newton (forma progresiva)

$$P(x) = f(x_0) + sΔf_0 + \frac{s(s-1)}{2!}Δ^2f_0 + \frac{s(s-1)(s-2)}{3!}Δ^3f_0 + \dots$$

Donde:

• $s = \frac{x - x_0}{h} = \frac{2.5 - 1}{1} = 1.5$

• $x_0 = 1$, $f(x_0) = 2$

Usamos los valores:

• $Δf_0 = 2$

• $Δ^2f_0 = 2$

• $Δ^3f_0 = 2$

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✅ Paso 4: Sustituir en la fórmula

$$\begin{align*} P(2.5) &= 2 + 1.5(2) + \frac{1.5(0.5)}{2}(2) + \frac{1.5(0.5)(-0.5)}{6}(2) \\ &= 2 + 3 + \frac{1.5}{2}(2) + \frac{-0.375}{6}(2) \\ &= 2 + 3 + 1.5 + (-0.125) \\ &= 6.375 \end{align*}$$

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✅ Resultado final

$$f(2.5) ≈ 6.375$$

$$-Código\; del\; Método-$$

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Datos

x = np.array([1, 2, 3, 4], dtype=float)

y = np.array([2, 4, 8, 16], dtype=float)

# Función para construir tabla de diferencias finitas

def diferencias_finitas(y):

    n = len(y)

    diff_table = np.zeros((n, n))

    diff_table[:,0] = y

    for j in range(1, n):

        for i in range(n - j):

            diff_table[i][j] = diff_table[i+1][j-1] - diff_table[i][j-1]

    return diff_table

# Construimos la tabla

tabla = diferencias_finitas(y)

# Mostrar tabla de diferencias

print("Tabla de diferencias finitas:")

print(np.round(tabla, 3))

# Interpolación de Newton progresiva

def newton_progresiva(x_data, diff_table, x_interp):

    n = len(x_data)

    h = x_data[1] - x_data[0]

    s = (x_interp - x_data[0]) / h

    result = diff_table[0, 0]

    term = 1

    for i in range(1, n):

        term *= (s - (i - 1))

        result += (term * diff_table[0, i]) / np.math.factorial(i)

    return result

# Interpolar en x = 2.5

x_interp = 2.5

y_interp = newton_progresiva(x, tabla, x_interp)

print(f"\nValor interpolado en x = {x_interp} es aproximadamente: {y_interp:.4f}")

# Graficar

x_vals = np.linspace(min(x), max(x), 100)

y_vals = [newton_progresiva(x, tabla, xi) for xi in x_vals]

plt.figure(figsize=(8,5))

plt.plot(x_vals, y_vals, label="Polinomio de interpolación")

plt.scatter(x, y, color='red', label="Puntos conocidos")

plt.axvline(x_interp, color='gray', linestyle='--', label=f"x = {x_interp}")

plt.scatter([x_interp], [y_interp], color='green', label=f"f({x_interp}) ≈ {y_interp:.3f}")

plt.title("Interpolación de Newton por diferencias finitas")

plt.xlabel("x")

plt.ylabel("f(x)")

plt.grid(True)

plt.legend()

plt.show()

-Grafica-

-Video Explicativo-

-Conclusión-

El método de interpolación por diferencias divididas es una técnica poderosa para estimar valores entre puntos son regularmente espaciados. Aunque útil, tiene limitaciones a considerar, como la posibilidad de mayor complejidad con más puntos y la necesidad de realizar un análisis de error para evaluar la precisión de la interpolación.