Eliminación Gaussiana

-Fundamento Teórico-

• Sistemas de ecuaciones lineales:

  La eliminación gaussiana se aplica a sistemas de ecuaciones lineales, que son sistemas de ecuaciones donde cada ecuación es de primer grado en las incógnitas. 
• Matriz aumentada:

  El sistema de ecuaciones se representa en forma matricial como una matriz aumentada, que incluye tanto los coeficientes de las incógnitas como los términos independientes. 
• Operaciones elementales de fila:

  La eliminación gaussiana se basa en la aplicación de operaciones elementales de fila a la matriz aumentada. Estas operaciones son:

  • Intercambiar dos filas. 
  • Multiplicar una fila por un escalar no nulo. 
  • Sumar a una fila un múltiplo de otra fila. 
• Forma escalonada:

  El objetivo de la eliminación gaussiana es transformar la matriz aumentada en una forma escalonada, donde:

  • Todas las filas que no son todas ceros están por encima de las filas que son todas ceros. 
  • El primer elemento no nulo de cada fila (el "pivote" o "lider") está a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. 
• Solución del sistema:

  Una vez que la matriz aumentada está en forma escalonada, la solución del sistema de ecuaciones se puede obtener fácilmente usando sustitución hacia atrás. 

Aplicaciones:

• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: La eliminación gaussiana es un método fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 
• Cálculo de la inversa de una matriz: Se puede usar para calcular la inversa de una matriz cuadrada. 
• Cálculo del determinante de una matriz: También puede usarse para calcular el determinante de una matriz. 
• Simplificación de matrices: La eliminación gaussiana puede usarse para simplificar matrices en general

-Algoritmo del Método-

1. 1. Formular el sistema en forma matricial:

   Convertir el sistema de ecuaciones en una matriz de coeficientes y una matriz de términos independientes. 
2. 2. Aplicar operaciones elementales de fila:

   • Pivoteo (opcional): Si el elemento en la diagonal principal (pivote) es cero, se puede intercambiar la fila actual con otra que tenga un elemento no cero en esa columna. 
   • Eliminar elementos debajo del pivote: Se utilizan operaciones elementales de fila para hacer ceros debajo del pivote. Para lograr esto, se multiplica la fila del pivote por un escalar y se suma a las filas debajo de ella, de manera que se elimine el elemento debajo del pivote en esas filas. 
3. 3. Repetir el proceso:

   Se repite el paso anterior con el siguiente pivote, avanzando hacia abajo en la matriz. 
4. 4. Obtener la forma escalonada:

   Una vez que todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros, la matriz se encuentra en forma escalonada. 
5. 5. Sustitución hacia atrás:

   Se resuelve el sistema de ecuaciones equivalente a la matriz escalonada, comenzando con la última ecuación (o última fila no cero) y sustituyendo los valores de las variables para resolver las ecuaciones anteriores. 

Ejemplo:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

Código

2x + y = 5
x - y = 1

1. Forma matricial:

Código

[ 2  1 ] [ x ] = [ 5 ]
[ 1 -1 ] [ y ] = [ 1 ]

1. Eliminación:
   • Paso 1:
     • Multiplicar la fila 2 por -2 y sumar a la fila 1:

Código

      [ 2  1 ] [ x ] = [ 5 ]
      [ -2  2 ] [ y ] = [ -2 ]
      + [ 1 -1 ] [ y ] = [ 1 ]

Código

      [ 2  1 ] [ x ] = [ 5 ]
      [ -2  1 ] [ y ] = [ -2 ]

• Paso 2: Dividir la fila 2 por 2

Código

      [ 2  1 ] [ x ] = [ 5 ]
      [ 0 -2 ] [ y ] = [ 1 ]

1. Forma escalonada:

Código

[ 2  1 ] [ x ] = [ 5 ]
[ 0 -2 ] [ y ] = [ 1 ]

1. Sustitución hacia atrás:
• La segunda ecuación es -2y = 1, por lo tanto, y = -1/2
• La primera ecuación es 2x + (-1/2) = 5, por lo tanto, 2x = 11/2, x = 11/4
• La solución es x = 11/4, y = -1/2

-Ejemplo Resuelto Paso a Paso-​

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

$$\begin{aligned} 2x + 3y - z &= 1 \\ 4x + y + z &= 2 \\ -2x + y + 2z &= 3 \end{aligned}$$

Este sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como:

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

El objetivo de la eliminación gaussiana es transformar la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior, y luego resolver el sistema mediante sustitución hacia atrás.

Paso 1: Escribir el sistema en forma aumentada

La matriz aumentada del sistema es:

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 4 & 1 & 1 & | & 2 \\ -2 & 1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}$$

---

Paso 2: Hacer cero los elementos debajo del pivote en la primera columna

El primer elemento (pivote) es $2$ (en la posición $(1,1)$).

Primero, transformamos la fila 2 para hacer que el elemento en $(2,1)$ sea 0. Restamos 2 veces la fila 1 de la fila 2:

$$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$$ $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 4 & 1 & 1 & | & 2 \\ -2 & 1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 0 \\ -2 & 1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}$$

Ahora, transformamos la fila 3 para hacer que el elemento en $(3,1)$ sea 0. Sumamos la fila 1 a la fila 3:

$$F_3 \leftarrow F_3 + F_1$$ $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 0 \\ -2 & 1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 0 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \end{pmatrix}$$

---

Paso 3: Hacer cero el elemento debajo del pivote en la segunda columna

El pivote en la segunda columna es $-5$ (en la posición $(2,2)$).

Ahora, transformamos la fila 3 para hacer que el elemento en $(3,2)$ sea 0. Multiplicamos la fila 2 por $\frac{4}{-5}$ y sumamos esta nueva fila a la fila 3:

$$F_3 \leftarrow F_3 + \frac{4}{-5}F_2$$ $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 0 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 2.4 & | & 4 \end{pmatrix}$$

---

Paso 4: Triangular superior

La matriz ya es triangular superior:

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -5 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 2.4 & | & 4 \end{pmatrix}$$

---

Paso 5: Sustitución hacia atrás

Ahora que tenemos la matriz triangular, podemos resolver el sistema mediante sustitución hacia atrás.

Resolviendo para $z$:

De la última ecuación:

$$2.4z = 4 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{4}{2.4} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

Resolviendo para $y$:

Sustituyendo $z = \frac{5}{3}$ en la segunda ecuación:

$$-5y + 3z = 0 \quad \Rightarrow \quad -5y + 3 \times \frac{5}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad -5y + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1$$

Resolviendo para $x$:

Sustituyendo $y = 1$ y $z = \frac{5}{3}$ en la primera ecuación:

$$2x + 3y - z = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x + 3 \times 1 - \frac{5}{3} = 1$$ $$2x + 3 - \frac{5}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x + \frac{9}{3} - \frac{5}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x + \frac{4}{3} = 1$$

Multiplicamos por 3 para eliminar los denominadores:

$$6x + 4 = 3 \quad \Rightarrow \quad 6x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{6}$$

---

Resultado final

El sistema tiene la siguiente solución:

$$x = -\frac{1}{6}, \quad y = 1, \quad z = \frac{5}{3}$$

-Código del Método-

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Definir la matriz de coeficientes y el vector de constantes

A = np.array([[2, 3, -1], [4, 1, 1], [-2, 1, 2]], dtype=float)

b = np.array([1, 2, 3], dtype=float)

# Método de eliminación gaussiana

def gauss_elimination(A, b):

    n = len(b)

   

    # Matriz aumentada

    augmented_matrix = np.hstack([A, b.reshape(-1, 1)])

   

    # Eliminación hacia adelante

    for i in range(n):

        # Pivote

        pivot = augmented_matrix[i, i]

       

        for j in range(i + 1, n):

            factor = augmented_matrix[j, i] / pivot

            augmented_matrix[j, i:] -= factor * augmented_matrix[i, i:]

   

    # Sustitución hacia atrás

    x = np.zeros(n)

    for i in range(n - 1, -1, -1):

        x[i] = (augmented_matrix[i, -1] - np.dot(augmented_matrix[i, i + 1:n], x[i + 1:])) / augmented_matrix[i, i]

   

    return x

# Resolución del sistema

solution = gauss_elimination(A, b)

x, y, z = solution

# Imprimir la solución

print(f"Solución del sistema:")

print(f"x = {x:.4f}, y = {y:.4f}, z = {z:.4f}")

# Gráfica de las ecuaciones

x_vals = np.linspace(-3, 3, 400)

y_vals = np.linspace(-3, 3, 400)

X, Y = np.meshgrid(x_vals, y_vals)

# Ecuación 1: 2x + 3y - z = 1

Z1 = (1 - 2*X - 3*Y)

# Ecuación 2: 4x + y + z = 2

Z2 = (2 - 4*X - Y)

# Ecuación 3: -2x + y + 2z = 3

Z3 = (3 + 2*X - Y) / 2

# Graficar las tres ecuaciones en 3D

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))

ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

ax.plot_surface(X, Y, Z1, alpha=0.5, rstride=100, cstride=100, color='blue', edgecolor='none')

ax.plot_surface(X, Y, Z2, alpha=0.5, rstride=100, cstride=100, color='green', edgecolor='none')

ax.plot_surface(X, Y, Z3, alpha=0.5, rstride=100, cstride=100, color='red', edgecolor='none')

# Marcar la solución en el gráfico

ax.scatter(x, y, z, color='black', s=100, label=f'Solución: ({x:.4f}, {y:.4f}, {z:.4f})')

# Títulos y etiquetas

ax.set_xlabel('X')

ax.set_ylabel('Y')

ax.set_zlabel('Z')

ax.set_title('Solución del sistema de ecuaciones')

# Leyenda

ax.legend()

# Mostrar gráfico

plt.show()

-Grafica-

-Video Explicativo-

-Conclusión-

La eliminación gaussiana es un método poderoso y ampliamente utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Su principal objetivo es transformar la matriz aumentada del sistema en una forma escalonada o triangular superior, lo que facilita la determinación de las soluciones. Este proceso implica realizar operaciones elementales de fila para eliminar términos y obtener una forma más sencilla de la matriz.