Método de la Inversa

 

-Fundamento Teórico-

• Definición:

  La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz, denotada como A⁻¹, que, al multiplicarse por A, resulta en la matriz identidad (I). 
• Existencia:

  Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es diferente de cero. 
• Aplicaciones:

  Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones geométricas, y en otras áreas de la ingeniería. 
• Cálculo:

  Se puede calcular utilizando la matriz adjunta y el determinante de la matriz original. 

Función Inversa:

• Definición:

  La función inversa de una función f, denotada como f⁻¹, "deshace" la acción de f, devolviendo la entrada original cuando se aplica a la salida de f. 
• Existencia:

  Para que una función tenga inversa, debe ser biyectiva (tanto inyectiva como exhaustiva). 
• Propiedades:

  La gráfica de una función y su inversa son simétricas con respecto a la línea y = x. 
• Aplicaciones:

  Se utiliza en criptografía, estadística, y otras áreas de la ciencia y la ingeniería. 

-Algoritmo del Método-

1. 1. Formar la matriz aumentada:

   Añade la matriz identidad (I) de igual tamaño a A a la derecha de A, formando la matriz aumentada [A|I].
2. 2. Transformar A en la identidad I:

   Realiza operaciones elementales de fila (multiplicar una fila por un escalar, intercambiar dos filas, sumar una fila a otra) para transformar la matriz A en la matriz identidad I.
3. 3. La matriz inversa:

   Si, después de las operaciones de fila, la matriz A se convierte en la identidad I, entonces la matriz que estaba originalmente a la derecha (en la posición de I) se convierte en la matriz inversa A⁻¹. Si no es posible transformar A en I, la matriz A no tiene inversa. 

Ejemplo:

Supongamos que A = [,]. Luego, formamos la matriz aumentada: 

[1 2 | 1 0]
[3 4 | 0 1]

Aplicamos operaciones elementales de fila: Fila 1, 3 y restar de fila 2: [1 2 | 1 0.

[0 -2 | -3 1]

• Fila 2 / -2: [1 2 | 1 0]

[0 1 | 3/2 -1/2] Fila 1, 2, Fila 2: [1 0 | -2 1.

[0 1 | 3/2 -1/2]

La matriz inversa A⁻¹ es [[-2, 1], [3/2, -1/2]]. 

-Ejemplo Resuelto Paso a Paso-

resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{aligned} x + 2y + 3z &= 9 \\ 2x + 3y + z &= 8 \\ 3x + y + 2z &= 7 \end{aligned}$$

Este sistema se puede escribir como:

$$A \cdot \vec{x} = \vec{b}$$

Donde:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$$

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🔢 Paso 1: Calcular la inversa de A

Calculamos $A^{-1}$ utilizando la regla de la matriz inversa (puede hacerse por métodos como adjunta/transpuesta o por Gauss-Jordan). Aquí damos directamente el resultado:

$$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 5 & -4 & -1 \\ -4 & -1 & 5 \\ -1 & 5 & -4 \end{pmatrix}$$

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🔄 Paso 2: Multiplicar la inversa por el vector b

$$\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b}$$ $$\vec{x} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 5 & -4 & -1 \\ -4 & -1 & 5 \\ -1 & 5 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Realizamos la multiplicación:

$$\vec{x} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 5(9) + (-4)(8) + (-1)(7) \\ -4(9) + (-1)(8) + 5(7) \\ -1(9) + 5(8) + (-4)(7) \end{pmatrix} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 45 - 32 - 7 \\ -36 - 8 + 35 \\ -9 + 40 - 28 \end{pmatrix} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix}$$

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✅ Resultado final:

$$\vec{x} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{14} \\ \frac{-9}{14} \\ \frac{3}{14} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4286 \\ -0.6429 \\ 0.2143 \end{pmatrix}$$

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🟢 Solución del sistema:

$$x \approx 0.4286,\quad y \approx -0.6429,\quad z \approx 0.2143$$

$$-Código\; del\; Método-$$

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# Sistema de ecuaciones:

# x + 2y + 3z = 9

# 2x + 3y + z = 8

# 3x + y + 2z = 7

# Matriz de coeficientes

A = np.array([

    [1, 2, 3],

    [2, 3, 1],

    [3, 1, 2]

], dtype=float)

# Vector de constantes

b = np.array([9, 8, 7], dtype=float)

# Calcular la inversa de A

A_inv = np.linalg.inv(A)

# Resolver el sistema: x = A⁻¹ * b

x_sol = np.dot(A_inv, b)

# Mostrar la solución

print("Solución del sistema:")

print(f"x = {x_sol[0]:.4f}")

print(f"y = {x_sol[1]:.4f}")

print(f"z = {x_sol[2]:.4f}")

# Graficar las superficies de las ecuaciones

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))

ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Crear una malla para x e y

x = np.linspace(-2, 2, 100)

y = np.linspace(-2, 2, 100)

X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Superficies Z resueltas a partir de las ecuaciones

Z1 = (9 - X - 2*Y) / 3

Z2 = (8 - 2*X - 3*Y)

Z3 = (7 - 3*X - Y) / 2

# Dibujar las superficies

ax.plot_surface(X, Y, Z1, alpha=0.5, color='blue', label='Ecuación 1')

ax.plot_surface(X, Y, Z2, alpha=0.5, color='green', label='Ecuación 2')

ax.plot_surface(X, Y, Z3, alpha=0.5, color='red', label='Ecuación 3')

# Marcar la solución

ax.scatter(x_sol[0], x_sol[1], x_sol[2], color='black', s=100, label='Solución')

# Etiquetas

ax.set_xlabel('x')

ax.set_ylabel('y')

ax.set_zlabel('z')

ax.set_title('Método de la Inversa - Solución Gráfica')

ax.legend()

# Mostrar gráfico

plt.show()

-Grafica-

-Video Explicativo-

-Conclusión-

Cuando una matriz se multiplica por su inversa, el resultado es la matriz identidad. Esta propiedad permite resolver sistemas de ecuaciones lineales y tiene diversas aplicaciones en campos como la criptografía y la ciencia de la computación.